ÁLGEBRA SUPERIOR [PDF]
Autor: Alejandro Bravo Mojica - Hugo Rincón Mejía - César Rincón Orta
Facultad de Ciencias, UNAM - 2006
Primera Edición
PRESENTACIÓN
La Matemática es una ciencia viva. Cada año incorpora a su acervo miles de teoremas. Cada día se producen nuevos resultados. Aparecen nuevas teorías y se actualizan las que son clásicas. Se mejoran todas. La tecnología aporta nuevos puntos de vista; otra manera de enfocar los temas sustantivos de ésta, que es la más pura expresión de la inteligencia humana Sin embargo, dentro de esta revolución de nuevas ideas, se distinguen aquellas que por su trascendencia se conservan incólumes. Apenas tocadas por el maquillaje de las nuevas formas de expresión. La Geometría de Euclides, enriquecida con las precisiones de Hilbert, permanece subyacente en una gran parte del conocimiento científico. Y qué decir del Álgebra, el lenguaje universal con el que se expresa la Matemática. Las ciencias de la computación han cambiado sustancialmente el proceso de enseñanza-aprendizaje, pero los conceptos básicos y la lógica con la que deben manejarse siguen siendo vigentes y su importante relevancia se reconoce en el énfasis que se pone en los contenidos curriculares de los primeros cursos de las diferentes licenciaturas que no abandonan la enseñanza de la Geometría ni del Álgebra.
La idea central que nos motivó para escribir este libro fue la de realizar un intento para reunir algunas partes esenciales de ese conocimiento sobre el que se construye y desarrolla el edificio de la Matemática La experiencia de muchos cursos de álgebra básica que los estudiantes toman en los primeros semestres de sus carreras y que los autores hemos impartido durante varios años en las facultades de Ciencias y de Química de la UNAM, nos llevaron a seleccionar el contenido, y conscientes de que el problema del rigor es uno de los parámetros más importantes en el proceso de la enseñanza-aprendizaje de la Matemática, decidimos mantener éste en un grado de dificultad adecuado para buscar el equilibrio -el justo balance- entre el formalismo deseado y el nivel de conocimientos y habilidades con que -sabemos- ingresan nuestros alumnos a las licenciaturas. Nos queda claro que el aprendizaje de la Matemática exige la formación de estructuras mentales de la más alta calidad, que obviamente, no pueden generarse de la nada. Para lograr un aprendizaje significativo, es indispensable ante todo, una buena formación previa y se requiere además un esfuerzo mantenido -constante- por parte del estudioso que debe “hacer suyo el conocimiento”. Que necesita ir modificando sus marcos conceptuales y desarrollando el caudal de habilidades y de herramientas teóricas que le permitan continuar con buen éxito su desarrollo profesional.
Enfatizamos aquí la importancia de este esfuerzo, convencidos de que cada resultado, cada definición, cada concepto que el estudiante ignora produce, cuando aparece en un discurso, un “cono de sombra” que oscurece, oculta o distorsiona una parte significativa del desarrollo posterior de teoría, que puede en muchos casos, volverse inentendible para él.
CONTENIDO
1 Lógica proposicional
1.1 Conceptos primitivos. Verdad, falsedad
1.2 Conectivos lógicos y Tablas de verdad
1.3 Tautologías y absurdos
1.4 Sistemas completos de conectivos
1.5 Reglas de inferencia, deducciones
1.5.1 Regla del reemplazo
1.5.2 Regla de la tautología
1.5.3 Negaciones
1.5.4 Inferencias no válidas
1.6 Reducción al absurdo
1.7 Apéndice. Sistemas formales
1.7.1 El sistema formal L
1.8 El Teorema de la deducción y las hipótesis adicionales
1.9 Valuación
1.10 Cuantificadores
2 Conjuntos y funciones
2.1 Axiomas
2.1.1 Pertenencia y contención
2.1.2 Especificación y existencia
2.1.3 No hay un conjunto de todos los conjuntos
2.1.4 Intersecciones y complementos
2.1.5 Uniones
2.1.6 Familias
2.1.7 La diferencia simétrica
2.1.8 El conjunto potencia
2.2 Parejas ordenadas, producto cartesiano y relaciones
2.2.1 Axioma de regularidad
2.2.2 Órdenes parciales
2.2.3 Retículas
2.3 Orden en un producto de conjuntos ordenados
2.4 Funciones
2.4.1 Funciones inyectivas
2.4.2 Funciones suprayectivas
2.4.3 Funciones biyectivas
2.5 Cardinalidad
2.5.1 Axioma del infinito
2.5.2 Conjuntos infinitos
2.6 Imágenes directas e imágenes inversas
2.7 Relaciones de equivalencia y particiones
2.8 La relación de equivalencia generada por una relación
2.9 Operaciones
2.9.1 La restricción de una operación
2.9.2 Operaciones asociativas
2.9.3 Tablas demultiplicar
3 El conjunto N de los números naturales
3.1 Introducción
3.2 Los axiomas de Peano
3.3 Construcción
3.4 Definiciones recursivas
3.5 Demostraciones inductivas
3.6 Conjuntos transitivos
3.7 Conjuntos infinitos y conjuntos finitos
3.8 El conjunto de los naturales es un conjunto infinito
3.9 El orden en los naturales
3.10 Recursión
3.11 Las propiedades algebraicas de los naturales
3.11.1 La suma
3.11.2 El producto en N
3.11.3 Potencias
3.12 Apéndice. Sobre las definiciones recursivas
4 Los números enteros
4.1 Construcción y definiciones
4.2 El orden en Z
4.2.1 Los enteros positivos
4.3 Inmersión de los naturales en los enteros
4.4 El producto en Z
4.5 El algoritmo de la división
4.6 Divisibilidad y congruencias
4.6.1 Subconjuntos de Z cerrados bajo la resta
4.6.2 Elmáximo común divisor
4.6.3 Elmínimo comúnmúltiplo
4.7 El Teorema fundamental de la Aritmética
4.7.1 El conjunto de primos es infinito
4.8 El algoritmo de Euclides
4.9 El anillo de los enterosmódulo n
4.10 Congruencias
4.11 Sistemas de congruencias
4.11.1 El Teorema chino del residuo
4.12 Ecuaciones diofantinas
4.13 Sistemas de numeración con bases distintas de 10
4.13.1 Algunos criterios de divisibilidad
4.14 Los números racionales
4.14.1 La suma en Q
4.14.2 El producto en Q
4.14.3 El orden en Q
4.14.4 Inmersión de Z en Q
5 ¿De cuántas maneras?
5.1 ¿Cuántos subconjuntos tiene un conjunto con n elementos?
5.1.1 El principio de la pichoneras
5.2 Subconjuntos con k elementos de un conjunto con k elementos
5.3 Permutaciones
5.3.1 Ordenaciones
5.4 ¿Cuántas funciones suprayectivas hay de A a B?
5.4.1 Relación de recurrencia para P
5.5 Ejercicios
6 El campo de los números reales
6.1 Consideraciones generales
6.2 Construcción de R a partir de las cortaduras en Q
6.3 Cortaduras de Dedekind
6.4 El producto en R
6.5 Supremos e ínfimos
6.5.1 El principio del supremo
6.5.2 La recta está completa
6.6 Representación decimal de un número real
7 El campo C de los números complejos
7.1 La inmersión de R en C
7.1.1 Modelo
7.2 La conjugación
7.3 La norma
7.4 La ecuación general de segundo grado
7.4.1 Sistemas de ecuaciones
7.5 Representación geométrica de los números complejos
7.5.1 Pasar de coordenadas rectangulares a forma polar
7.6 Raíces n-ésimas de un número complejo
7.7 El argumento de un número complejo
7.8 Algunas transformaciones del plano
7.8.1 Contracciones y expansiones
7.8.2 Rotaciones
7.8.3 Reflexión sobre el eje X
7.8.4 Reflexión respecto al origen
7.9 La función exponencial compleja
7.9.1 Representación geométrica de algunas rectas bajo la transformación E
7.9.2 La función logaritmo
7.10 Las funciones trigonométricas
8 Espacios vectoriales
8.1 Conceptos preliminares
8.2 Espacios vectoriales
8.3 Subespacios
8.3.1 Dependencia lineal
8.4 Bases
8.4.1 Intersección de subespacios y suma de subespacios
8.5 Producto punto
8.6 Matrices
8.6.1 El rango de una matriz
8.7 Funciones lineales
8.8 La matriz de una función lineal entre F^n -t-> F^m
8.9 Sistemas de ecuaciones lineales
8.9.1 Algunas definiciones
8.9.2 Un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales
8.9.3 Algoritmo para la solución de sistemas de ecuaciones lineales
8.10 Matrices reducidas y escalonadas
8.11 Determinantes
8.11.1 Notaciones para permutaciones
8.11.2 La paridad de una permutación
8.11.3 Determinantes
8.11.4 El desarrollo del determinante respecto a un renglón
8.11.5 El determinante de un producto dematrices I
8.11.6 Determinantes y rango
8.11.7 El determinante de un producto dematrices II
8.11.8 Matrices invertibles y determinantes
8.11.9 La regla de Cramer
8.11.10Determinantes y funciones multilineales
8.11.11Resumen de las propiedades del determinante
9 Polinomios con coeficientes en R
9.1 Construcción y definiciones
9.2 Evaluación
9.3 Los ideales de R [x]
9.3.1 Traslación de la gráfica de un polinomio
9.3.2 Elmétodo de Horner
9.4 Un procedimiento gráfico para resolver algunas desigualdades
9.4.1 Procedimiento gráfico para resolver la desigualdad f (x) < 0
9.4.2 Una aplicación
9.5 Reflexión sobre el eje Y
9.6 Continuidad
9.7 Valores intermedios
9.8 Derivadas
9.9 Derivadas y multiplicidad
9.10 El teorema de Sturm
9.11 Regla de los signos de Descartes
9.12 Raíces racionales
9.13 Coeficientes y raíces
9.14 Polinomios de tercer grado
9.14.1 El discriminante y número de raíces reales
9.15 Polinomios de grado cuatro
9.16 Otra construcción de C
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Atentamente,
Admin de Hidro SM
