GEOMETRÍA ANALÍTICA [PDF]
Autor: Charles H. Lehmann
The Cooper Union Scholl of Engineering
PRESENTACIÓN
El libro que presentamos constituye un curso de Geometría analítica plana y del espacio. Supone el conocimiento, por parte del lector, de los principios fundamentales de Geometría elemental, Trigonometría plana y Algebra.
En su preparación el autor se ha esforzado, principalmente, en satisfacer las necesidades de maestros y alumnos. Una simple lectura del índice mostrará que los temas considerados son aquellos incluidos generalmente en los libros de texto de Geometría analítica. Creemos que el maestro encontrará en este libro todo el material que puede considerar como esencial para un curso de esta materia, ya que no es conveniente, por lo general, el tener que complementar un libro de texto con material de otros libros.
El método didáctico empleado en todo el libro consta de las siguientes partes: orientación, motivo, discusión y ejemplos, a la manera de una lección oral. Para orientación del estudiante, el autor ha usado el método de presentar primero ideas familiares y pasar luego paulatinamente y de una manera natural a nuevos conceptos. Por esta razón, cada capítulo comienza con un artículo preliminar. Este enlace de los conocimientos anteriores del estudiante con los nuevos conceptos de la Geometría analítica es de considerable importancia, porque un mal entendimiento del método analítico en los principios conducirá, inevitablemente, a dificultades continuas en las partes más avanzadas.
En el desarrollo de los temas se ha puesto especial cuidado en fijar el motivo. Esto es necesario si se quiere que el alumno obtenga un conocimiento básico de los métodos analíticos y no haga una simple adquisición de hechos geométricos. Se ha hecho todo lo posible por encauzar el proceso de razonamiento de tal manera que aparte al estudiante de la tarea de memorizar.
En general, hemos resumido en forma de teoremas los resultados de la discusión de un problema o una proposición particular. Este procedimiento no solamente sirve para llamar la atención sobre los resultados importantes, sino también clasifica a dichos resultados para futura referencia.
CONTENIDO
CAPITULO PRIMERO
SISTEMAS DE COORDENADAS
1. Introducción
2. Segmento rectilíneo dirigido
3. Sistema coordenado lineal
4. Sistema coordenado en el plano
5. Carácter de la Geometría analítica
6. Distancia entre dos puntos dados
7. División de un segmento en una razón dada
8. Pendiente de una recta
9. Significado de la frase ‘condición necesaria y suficiente'
10. Angulo de dos rectas
11. Demostración de teoremas geométricos por el método analítico
12. Resumen de-fórmulas
CAPITULO II
GRAFICA DE U NA ECUACION Y LUGARES GEOMETRICOS
13. Dos problemas fundamentales de la Geometría analítica
14. Primer problema fundamental. Gráfica de una ecuación
15. Intercepciones con los ejes
16. Simetría
17. Extensión de una curva
18. Asíntotas
19. Construcción de curvas
20. Ecuaciones factorízables
21. Intersecciones de curvas
22. Segundo problema fundamental
23. Ecuación de un lugar geométrico
CAPITULO III
LA LINEA RECTA
24. Introducción
25. Definición de línea recta
26. Ecuación de una recta que pasa por un p unto y tiene una pendiente dada
27. Otras formas de la ecuación de la recta
28. Forma general de la ecuación de una recta
29. Discusión de la forma general
30. Posiciones relativas de dos rectas
31. Forma normal de la ecuación de la recta
32. Reducción de la forma general de la ecuación de una recta a la forma normal
33. Aplicaciones de la forma normal
34. Área de un triángulo
35. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos, en forma de determina
36. Familias-de líneas rectas
37. Resumen de resultadós
CAPITULO IV
ECUACION DE LA CIRCUNFERENCIA
38. Introducción
39. Ecuación de la circunferencia; forma ordinaria
40. Forma general de la ecuación de la circunferencia
41. Determinación de una circunferencia sujeta a tres condiciones dadas.
42. Familias de circunferencias
43. Eje radical
44. Tangente a una curva
45. Tangente a una circunferencia
46. Teoremas y problemas de lugares geométricos relativos a la circunferencia
CAPITULO V
TRANSFORMACION DE COORDENADAS
47. Introducción
48. Transformaciones
49. Transformació n de coordenadas
50. Traslación de los ejes coordenados
51. Rotación de los ejes coordenados
52. Simplificación de ecuaciones por transformación de coordenadas
CAPITULO VI
LA PARABOLA
53. Introducción
54. Definiciones
55. Ecuación de la parábola de vértice en el origen y eje un eje coordenado
56. Ecuación de una parábola de vértice (h , h ) y eje paralelo a un eje coordenado
57. Ecuación de la tangente a una parábola
58. La función cuadrática
59. Algunas aplicaciones de la parábola
CAPITULO VII
LA ELIPSE
60. Definiciones
61. Ecuación de la elipse de centro en el origen y ejes de coordenadas los ejes de la elipse
62. Ecuación de la elipse de centro (h , k) y ejes paralelos a los coordenados
63. Propiedades de la elipse
CAPITULO VIII
LA HIPERBOLA
64. Definiciones
65. Primera ecuación ordinaria de la hipérbola
66. Asíntotas de la hipérbola
67. Hipérbola equilátera o rectangular
68. Hipérbolas conjugadas
69. Segunda ecuación ordinaria de la hipérbola
70. Propiedades de la hipérbola
71. Primer resumen relativo a las secciones cónicas
CAPITULO IX
ECUACION GENERAL DE SEGUNDO GRADO
72. Introducción
73. Transformación de la ecuación general por rotación de los ejes coordenados
74. El indicador I — B 2 — 4 A C
75. Definición general de cónica
76. Tan gente a la cónica general
77. Sistemas de cónicas
78. Secciones planas de un cono circular recto
CAPITULO X
COORDENADAS POLARES
79. Introducción
80. Sistema de coordenadas polares
81. Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversa
82. T raz ad o de curvas en coordenadas polares
83. Intersecciones de curvas dadas en coordenadas polares
84. F órmula de la distancia entre dos punto s en coordenadas polares
85. Ecuación de la recta en coordenadas polares
86. Ecuación de la circunferencia en coordenadas polares
87. Ecuación general de las cónicas en coordenadas polares
88. Problemas relativos a lugares geométricos en coordenadas polares
CAPITULO XI
ECUACIONES PARAMETRICAS
89. Introducción
90. Obtención de la ecuación rectangular de una curva a partir de su representación paramétrica
91. Gráfica de una curva a partir de su representación paramétrica
92. Representación paramétrica de las cónicas
93. La cicloide
94. Epicicloide e hipocicloide
95. Resolución de problemas de lugares geométricos por el método paramétrico
CAPITULO XII
CURVAS PLANAS DE GRADO SUPERIOR
96. Clasificación de funciones
97. Clasificación de las curvas planas
98. Algunas curvas planas algebraicas de grado superior
99. Tres famosos problemas de la antigüedad
100. La sinusoide
101. Otras curvas trigonométricas
102. Gráficas de las funciones trigonométricas inversas
103. Curva lo g arítmica
104. Curva exponencial
105. Curvas compuestas
GEOMETRIA ANALITICA DEL ESPACI O
CAPITULO XIII
EL PUNTO EN EL ESPACIO
106. Introducción
107. Sistemas de coordenadas rectangulares en el espacio
108. Distancia entre dos punto s dados en el espacio
109. División de un segmento en el espacio en una razón dada
110. Cosenos directores de una recta en el espacio
111. Números directores de una recta en el espacio
112. Angulo formado por dos rectas dirigidas en el espacio
113. Números directores de una recta perpendicular a dos dadas
114. Introducción
115. Forma general de la ecuación del plano
116. Discusión de la forma general
117. Otras formas de la ecuación del plano
118. Posiciones relativas de dos planos
119. Forma normal de la ecuación del plano
120. Aplicaciones de la forma normal
121. Familias de planos
CAPITULO XV
LA RECTA EN EL ESPACIO
122. Introducción
123. Forma general de las ecuaciones de la recta
124. Forma simétrica de las ecuaciones de la recta: ecuaciones de la recta que pasa por dos puntos, y ecuaciones paramétricas de la recta
125. Planos proyectantes de una recta
126. Reducción de la forma general a la forma simétrica
127. Posiciones de una recta y un plano
CAPITULO XVI
SUPERFICIES
128- Introducción
129. Discusión de la ecuación de una superficie
130. Construcción de una superficie
131. Ecuación de la superficie esférica
132. Coordenadas esféricas
133. Ecuación de una superficie cilindrica
134. Coordenadas cilindricas
135. Ecuación de una superficie cónica
136. Superficies de revolución
137. Superficies regladas
138. Transformación de coordenadas rectangulares en el espacio
139. Ecuación general de segundo grado con tres variables
140. Cuádricas con centro
141. Cuádricas sin centro
CAPITULO XVII
CURVAS EN EL ESPACIO
142. Introducción
143. Curvas planas en el espacio
144. Curva de intersección de las superficies de dos cilindros rectos
145. Cilindros proyectantes de una curva del espacio
146. Construcción de las curvas del espacio
147. Ecuaciones paramétricas de una curva del espacio
148. Construcción de volúmenes
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Atentamente,
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